Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения. Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения преобразование выражений содержащих квадратные корни
Разделы: Математика
Цели урока:
- Повторить определение арифметического квадратного корня, свойства арифметического квадратного корня.
- Обобщить и систематизировать знания учащихся по этой теме.
- Закрепить навыки и умения решения примеров на тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни.
- Дать возможность каждому ученику как можно более полно раскрыть свои возможности.
- Расширять кругозор и познакомить учащихся с математиками средних веков.
Тип урока: урок-практикум.
Оборудование урока: раздаточный материал, цветной мел, графопроектор, портрет Рене Декарта, плакаты с формулами.
Ход урока
I. Организационный момент.
Тема нашего урока «Преобразование выражений, содержащих арифметические квадратные корни». Сегодня на уроке мы будем повторять правила преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Это и преобразование корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, приведение подобных слагаемых и освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
II. Устный опрос по теории.
- Дайте определение арифметического квадратного корня. (Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а ).
- Перечислите свойства арифметического квадратного корня. (Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя ).
- Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 ? (|х | ).
- Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 , если х≥0? х<0? (х. –х ).
III. Устная работа. (Записано на доске).
Найдите значение корня: |
|
Найдите значение выражения: |
|
Внесите множитель под знак корня: |
|
Сравните: |
|
IV. Отработка знаний по данной теме. (На партах у каждого листок с заданиями ).
1. Выполните действия.
- Как будем решать примеры а и б? (Раскроим скобки, приведём подобные слагаемые ).
- Как будем решать примеры в и г? (Применим формулу разности квадратов ).
- Как будем решать примеры д и е? (Вынесем множитель за знак корня и приведём подобные слагаемые ).
2 + 0,3- 4 + 0,01 |
|||||||||
3 + 0,5 - 2 + 0,01 |
(Ученики по вариантам выполняют примеры в тетрадях, 6 учеников по 1 примеру решают у задней доски ).
– Проверка через графопроектор. Каждому ответу соответствует определённая буква. В результате получаются слово: Декарт.
V. Историческая справка.
Ученик выступает с небольшим сообщением.
В 1626 году нидерландский математик А.Ширар ввел близкое к современному обозначение корня V. Если над этим знаком стояла цифра 2, то это означало корень квадратный, если 3 – кубический. Это обозначение стало вытеснять знак Rx. Однако долгое время писали Vа+в с горизонтальной чертой над суммой. Лишь в 1637 году Рене Декарт соединил знак корня с горизонтальной чертой, применив в своей «Геометрии» современный знак корня . Этот знак вошёл во всеобщее употребление лишь в начале XVIII века. (На доске – портрет Рене Декарта, рисунок ).
VI. Отработка знаний по теме.
2. Разложите на множители.
а и б – разложим по формуле разности квадратов, в и г – используя определение арифметического квадратного корня, заменим 7 и 13 квадратами из квадратных корней, а потом вынесем за скобки общий множитель ).
а) а – 9, а≥0 |
||||
б) 16 – в, в≥0 |
||||
Ученики решают в тетрадях по вариантам, 2 человека (по одному от каждого варианта) решают у доски.
– Проверка.
3. Сократите дробь.
– Как будем выполнять это задание? (Разложим на множители или числитель, или знаменатель, а потом сократим ).
Ученики решают в тетрадях по вариантам, 4 человека решают у доски. Примеры д и е решают дополнительно, кто успеет.
– Проверка.
4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби.
– Что будем делать в этом задании? (Преобразуем дробь так, чтобы знаменатель не содержал квадратного корня: а и б будем домножать и числитель, и знаменатель на квадратный корень, записанный в знаменателе; в и г будем домножать на сумму или разность выражения, записанного в знаменателе для того, чтобы получилась разность квадратов ).
Ученики решают по вариантам, 2 человека решают по 2 примера у доски.
– Проверка.
VII. Написание теста.
У каждого на парте листок с заданиями теста (приложение 1 ). Подписали листок и выполнили задания в этом же листке. После написания работы сдали, проверили ответы и разобрали, почему так, через графопроектор.
VIII. Домашнее задание. с. 109 № 503 (а–г), 504.
Алгебра. 8 класс
Учитель: Кулешова Татьяна Николаевна
Тема: Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
Тип урока: обобщение и систематизация знаний
Цель урока: формирование умений учащихся преобразовывать выражения, содержащих квадратные корни
Задачи:
Образовательные: знать свойства арифметического квадратного корня; научиться преобразовывать такие выражения, содержащие квадратные корни, как вынесение множителя из – под знака корня, внесение множителя в знак корня и освобождение от иррациональности в знаменателе дроби;
Развивающие: развивать познавательные и творческие способности, мышление, наблюдательность, сообразительность и навыки самостоятельной деятельности; привитие интереса к математике;
Воспитательные : умение работать в команде (группе), желания активно учиться с интересом; четкость и организованность в работе; дать каждому ученику достичь успеха;
Оборудование: Школьные принадлежности, доска, мел, учебник, раздаточный материал.
План урока
- Организационный момент
- Целеполагание
- Повторение
- Самостоятельная работа
- Диктант
- Тест
- Работа по учебнику
- Инструктаж домашнего задания
- Итоги урока. Рефлексия
Ход работы
- Организационный момент
Мотивация урока
«Закройте глаза, сядьте поудобнее. Представьте что-то очень приятное вам. Вам хорошо, удобно. Вокруг вас много друзей. Среди них и натуральные числа, с которыми мы с вами хорошо знакомы. Ряды наших друзей пополняются и к ним присоединились дробные числа. А вот подошли и отрицательные числа. А теперь вы идете на встречу рациональным и иррациональным числам. Пройдёт время, и мы познакомимся с вами с новыми числами и, пока на свете существует математика, эти числа бесконечны».
« Знание – только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью ».Л. Н. Толстой.-Эти слова Л. Н. Толстого важны и актуальны при изучении математики, ведь математика одна из немногих наук, где надо постоянно размышлять. Ваша задача показать свои знания и умения в процессе устной работы, тестирования, работы у доски.
У каждого из вас на столе лежит оценочный лист, после каждого выполненного задания не забываем выставлять оценки, а в конце урока поставить итоговую оценку.
- Целеполагание
Решите анаграмму (Работа в группах)
ОБ – ЗО – РА – ПРЕ – НИЕ – ВА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
НИЙ – РА – ЖЕ – ВЫ ВЫРАЖЕНИЙ
ЩИХ – ДЕР – ЖА – СО СОДЕРЖАЩИХ
РАТ – КВ – НЫЕ – АД КВАДРАТНЫЕ
НИ – КО – Р КОРНИ
Решив анаграмму, учащиеся определяют тему урока
Как вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке?
Давайте вместе сформулируем цель нашего урока.
- Повторение ранее изученного материала
А 1) Устный счёт:
Проверка теории: Соединить линией соответствующие части определения.
оценка -2 балла
2). Завершить утверждение.
а) Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. (оценка -2 балла)
б) Всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь называется иррациональным числом. (оценка -2 балла)
в) Корень из дроби, числитель которой является неотрицательным числом, а знаменатель положительным, равен корню из числителя, деленного на корень из знаменателя.( оценка -2 балла)
3) Установить соответствие (2 балла)
В. 3 учащихся получают по алгоритму преобразований выражений, содержащих квадратные корни. Задание: изобразить, начертить, написать, показать и т.д. и защитить (спикер).
3) Извлечь корень
- Разложить знаменатель дроби на множители.
- Если знаменатель имеет вид или содержит множитель , то числитель и знаменатель следует умножить на или на .
- Преобразовать числитель и знаменатель дроби, если возможно, то сократить полученную дробь.
- Самостоятельная работа
Вынеси множитель из-под знака корня:
(2 балла )
3)
Упростите выражение (4 балла)
- Тест на ноутбуке (оценка выставляется автоматически)
1) 6 =
а) , б) , в) - , г) .
2) 5 =
3) 3 =
а) , б) , в) - , г) .
- Диктант:
Вариант-1 | Ответы: |
За каждое правильно выполненное задание 0,5 балла.
- Работа по учебнику- работа на доске: каждый учащийся получает конкретный пример, по очереди решают на доске, все записывают в тетради. (1 балл)
- Информация о домашнем задании
- Подведение итогов урока. Рефлексия
Оценивание
Оценочный лист. Ф.И учащегося _______________________Оценка _____
Этап урока | Баллы |
Устный счёт | |
Самостоятельная работа | |
Тест | |
Диктант | |
Работа по учебнику- работа на доске | |
Дополнительные задания | |
Итого баллов за урок | |
Моё настроение в конце урока- после оценки за урок |
Перевод баллов в оценку
25 баллов и более – оценка «5»
24 – 18 баллов – оценка «4»
17 – 9 баллов – оценка «3»
0 – 8 баллов – оценка «2»
Для оценивания всей работы за урок используется «Перевод баллов в оценку» - с обратной стороны оценочного листа.
Заполните до конца оценочный лист. Оценки за урок.
Закончить урок я хочу стихотворением великого математика Софьи Ковалевской.
Если в жизни ты хоть на мгновенье
Истину в сердце своем ощутил,
Если луч света сквозь мрак и сомненье
Ярким сияньем твой путь озарил:
Что бы в решенье твоем неизменном
Рок ни назначил тебе впереди,
Память об этом мгновенье священном
Вечно храни, как святыню в груди.
Тучи сберутся громадой нестройной,
Небо покроется черною мглой,
С ясной решимостью, с верой спокойной
Бурю ты встреть и померься с грозой.
В этом стихотворении выражено стремление к знаниям, умение преодолевать все преграды, которые встречаются на пути. А как мы сегодня с вами преодолевали преграды? Чем мы занимались на уроке?
- Сегодня мы повторили определение и свойства арифметического квадратного корня; вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, формулы сокращённого умножения; ознакомились и закрепили некоторые способы преобразования выражений, содержащих квадратные корни.
Все работали плодотворно, активно и коллективно в течение урока.
Урок окончен. Всем спасибо за урок!
Внести множитель под знак корня:
1) 6 =
а) , б) , в) - , г) .
2) 5 =
3) 3 =
а) , б) , в) - , г) .
Тест Ф.И.____________________
Внести множитель под знак корня:
1) 6 =
а) , б) , в) - , г) .
2) 5 =
3) 3 =
а) , б) , в) - =
а) , б) , в) - , г) .
2) 5 =
3) 3 =
а) , б) , в) - =
а) , б) , в) - , г) .
2) 5 =
3) 3 =
а) , б) , в) - =
а) , б) , в) - , г) .
2) 5 =
3) 3 =
а) , б) , в) - , г) .
Алгоритм вынесения множителя из-под знака корня
1) Представим подкоренное выражение в виде произведения таких множителей, чтобы из одного можно было бы извлечь квадратный корень.
2) Применим теорему о корне из произведения.
3) Извлечь корень
Алгоритм внесения множителя под знак корня
1) Представим произведение в виде арифметического квадратного корня.
2) Преобразуем произведение квадратных корней в квадратный корень из произведения подкоренных выражений.
3) Выполним умножение под знаком корня.
Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби:
1) Разложить знаменатель дроби на множители.
«Средняя общеобразовательная школа №51»
На конкурс «Учитель года», школьный этап
План-конспект урока математики для 8 «А» класса
Тема: Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня.
Выполнила:
Учитель математики
Аралбаева Нурслу Еркагалеевна
МОБУ «СОШ №51»
г.Оренбург, 2015г.
Тип урока : систематизация и обобщение знаний.
Методы обучения : проблемный, словесный, наглядный, практический.
Формы классной работы : индивидуальная, парная.
Оборудование :
мел, классная доска
компьютер
мультимедийный проектор с экраном
электронная версия урока - презентация
раздадочный материал (кардочки с заданиями разного уровня)
Цели урока:
Образовательная: обобщить знания по всем видам преобразований выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня, закреплять умения пользоваться свойствами квадратного корня, учиться использовать полученные знания для подготовки к РОЭ.
Развивающая: развитие нестандартного подхода к решению проблемы; развитие мышления, грамотной математической речи, навыков самоконтроля; формировать умение организовывать свою деятельность.
Воспитательная: способствовать развитию интереса к предмету, активности, воспитывать аккуратность в работе, умение выражать собственное мнение, давать рекомендации.
Учащиеся должны знать:
Алгоритм внесения множителя под знак корня.
Алгоритм вынесения множителя из-под знака корня.
Применение свойств квадратного корня.
Определение квадратного корня.
« Величие человека в его способности мыслить ».
Блез Паскаль.
I Организационный момент
Вступление. Сообщение темы и целей урока.
Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя. Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса:
Что есть больше всего на свете? – Пространство.
Что быстрее всего? – Ум.
Что мудрее всего? – Время.
Что приятнее всего? – Достичь желаемого.
Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.
В данный момент в класс стучатся и сообщают о том, что школа получила почту, в которой была бандероль для 8 “А” класса. Учитель вскрывает бандероль, в которой находятся письма для каждого учащегося. Получив конверты, учащиеся знакомятся с содержимым. Один из учеников читает вслух рекомендательное письмо:
Уважаемая Нурслу Еркагалеевна!
Оренбургский Государственный университет предлагает Вам принять участие в международном конкурсе “Дети - наше будущее”. Целью проводимого конкурса является выявление одаренных детей в различных регионах нашей страны и предоставление им возможности обучаться в высших учебных заведениях на государственной основе.
Поскольку профилирующими предметами у нас являются математика, физика, информатика, то для участия в конкурсе “Дети - наше будущее” необходимо выполнить задание по предмету “Математика”. Рекомендации по другим предметам Вы получите позже.
Помните, при положительных результатах у Вас появится шанс на поступление в наш университет.
Желаем удачи!
Учитель:
Ребята, нам предлагают принять участие в конкурсе “Дети - наше будущее” и у Вас появится возможность поступить в ВУЗ. Для этого необходимо выполнить предлагаемые задания. Однако, прежде, чем перейти к выполнению задания, повторим основные моменты по теме.
II Актуализация знаний
Вынести из-под знака корня:
Внести множитель под знак корня:
Возведите в квадрат:
Приведите подобные слагаемые:
Получи рисунок (работа в парах)
III Физминутка
Физкультминутка для глаз
IV Тестовая работа.
Тест из заданий РОЭ
Найти значение выражения:
-2(
) 2
А. 9,6 Б. 0 В. 0,38 Г. 2,4
А. 42 Б. 18 В. 60 Г. 6
Найти значение выражения:
0,5 
+ 3 
А. 62,93 Б. 0 В. 8,2 Г. 1
Найти значение выражения:
- 0,5 (
) 2
А. 141 Б. 9. В. 6 Г. 0
А. 0 Б. 0,7 В.1 Г.0,1
Найти значение выражения:
-2(
) 2
А. 8,75 Б. 0,1 В. 0,28 Г. 3,6
А. 47 Б. 8 В. 70 Г. 16
Найти значение выражения:
0,5 
+ 3 
А. 0 Б. 58,61 В. 8,1 Г. 1
Найти значение выражения:
- 0,5 (
) 2
А. 7 Б. 121 В. 6 Г. 0
А. 0 Б. 1 В. 0,3 Г. 0,1
Заполнив таблицу, учащиеся вкладывают выполненное задание в конверт и сдают учителю. Учитель выставляет оценки, благодарит учащихся за работу и сообщает, что на следующем уроке учащиеся получат конверты с результатом и узнают о шансе поступления. VII Итог урока.
Рефлексия
Наша работа подходит к концу и наступает момент творчества. Какой праздник нас ожидает в ближайшее время (Новый год). Мы нарядим «Ёлочку настроения». И пусть она соединит в себе ваше настроение, ваши чувства и эмоции от урока.
Я доволен своей работой на уроке (смайлик соответствующий)
На уроке я работал неплохо.
На уроке мне было трудно.
Пожалуйста, выберите соответствующий вашим эмоциям смайлик, подойдите к доске и повесьте его на ёлочку.
Что же у нас получилось? Очень яркая ёлочка говорит о том, что вы с интересом работали на уроке, узнали много нового, что заставило вас задуматься и изменить свое отношение к алгебре. Я позволю себе добавить несколько штрихов:
- Пусть снежинки окрыляют нас к успеху и творчеству (вешаю снежинки).
- Я надеюсь, что урок принес радость не только мне, но и вам уважаемые мои ученики (Включаем гирлянду).
- А те знания, что вы приобрели, сегодня пусть останутся с вами навсегда.
VIII Задание на дом:
Дифференцированное: уровень А – оценка «3», уровень В – оценка «4», уровень С – оценка «5».
Выставление оценок
Литература:
Программа: для общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г.Мордковича.
Поурочные разработки по алгебре 8 класс О.В.Занина, И.Н. Данкова.